Тема Hand Made

Здравствуйте, Илья! 

Почему не отображается возможность установки своего цвета в меню "Цветовые настройки"?

Свои цвета "спрятаны" в скрытых настройках темы.
Чтобы их увидеть, отметьте галочку Показать скрытые настройки

После этого вы увидите скрытые настройки, которые я пометил красной звёздочкой. 
В их числе и настройки, отвечающие за выбор собственного цвета для многих элементов дизайна сайта. 

Как изменить цвет фона контактов в шапке при их постоянном отображении? По-умолчанию установлен серый.

Цвет формируется из цвета панели меню. Он делается чуть темнее, чем фоновый цвет меню. 
Т.е. при смене фонового цвета меню изменится и цвет панели с контактами. 

Если вас это не устраивает и вы хотите изменить цвет, то можете создать блок handmade.user_css и добавить в него код: 

body .pre-header.uk-navbar-container:not(.uk-navbar-transparent){
  background: #000000;
  color: #ffffff;
}

Где background: #000000; – это чёрный цвет фона, color: #ffffff; – белый цвет текста. 
Замените коды цветов на свои.

Для справки: 

• Для чего нужны блоки и где их создавать
• Блок theme.user_css